量子邏輯門
量子態的演化
在前面量子糾纏1中我們已經提到了量子比特的線性代數表示，即，對於一個量子態 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\)我們可以化簡成$ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 。
量子態不是一成不變的，就像高電平會變成低電平，一個量子態也能演化成另一個量子態，量子態的演化就是在Hilbert空間中的旋轉,如圖(a)所示。
通過一個U操作，我們就將 \(| 0\rangle\) 變成了 \(U| 0\rangle\) ， \(| 1\rangle\) 變成了 \(U| 1\rangle\) ， \(| u\rangle\) 變成了 \(U| u\rangle\) ，如圖(b)所示。需要注意的是，我添加一個U操作，沒有改變 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| u\rangle\) 之間的關係， \(U| 0\rangle\) 、 \(U| 1\rangle\) 和 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 一樣，他們之間的關係依舊是垂直。
$ (| 0\rangle, | 1\rangle)=0$
$ (U| 0\rangle, U| 1\rangle)=0$
\((,)\) 是內積的意思， $ (| 0\rangle, | 1\rangle)= \left[ \begin{array}{}{1}&{0}\end{array}\right]\left[ \begin{array}{}{0} \ {1}\end{array}\right]$ ，同樣，也可以簡寫成 \(\langle0| 1\rangle\) ， \(\langle0|\) 表明是 \(| 0\rangle\) 的共軛轉置。
對於這種兩個向量之間夾角不會變的旋轉稱為剛性旋轉 rigid rotation。
而這種U操作被成為酉操作，也是unitary transformation
Unitary Transformation
量子比特我們用向量來表示，因為我們量子比特的演化是線性的，所以在量子比特上的操作，可以用矩陣來表示。
單量子比特是 \(2*1\) 的向量，則單量子比特門是 \(2*2\) 的矩陣。
\(| 0\rangle\) 變到 \(U| 0\rangle\) 在線性代數上就是 $ \left[ \begin{array}{}{1} \ {0}\end{array}\right]$ 變到 $ \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} \ {\frac{1}{\sqrt2}}\end{array}\right]$
\[ \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}\end{array}\right]=U\left[ \begin{array}{}{1} \\ {0}\end{array}\right]\]
\[U= \left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} &{-\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}&{\frac{1}{\sqrt2}} \end{array}\right]\]
對於旋轉了 \(\theta\) 角度的操作，都可以用 \(U_{\theta}= \left[ \begin{array}{}{cos\theta} &{-sin\theta} \\ {sin\theta}&{cos\theta} \end{array}\right]\) 表達。
如果要做相反操作，就是將順時針轉 \(\theta\) 角度， \(U_{-\theta}= \left[ \begin{array}{}{cos\theta} &{sin\theta} \\ {-sin\theta}&{cos\theta} \end{array}\right]\)
很巧的是， \(U_\theta^\dagger=U_{-\theta}\) ， \(\dagger\) 是共軛轉置的意思。
\(U_\theta U_{\theta}^\dagger=I\) ，意思也很好理解，因為順時針 \(\theta\) 又 \(-\theta\) ，正好就回到原位。
事實上所有的量子操作都是可逆的，所有的量子操作都酉操作。
那麼什麼是酉操作呢？
U is unitary iff \(U^\dagger U =I\)
對於酉矩陣的更多特徵會在線性代數的章節提到，這裏主要提一個，酉矩陣是保內積的。
保內積又是什麼意思？
兩個向量在乘以相同的U后，他們的內積不變。
\[(U| a\rangle, U| b\rangle)=\langle a|U^\dagger U|b\rangle=\langle a|I|b\rangle=\langle a|b\rangle\]
單量子邏輯門
量子邏輯門和經典邏輯門一個巨大的不同是——量子邏輯門可逆。
經過了經典的邏輯門與門或者非門，我們的信息會丟失，告訴你與門后的輸出結果是0，你知道與門前的輸入嗎？（0，0）、（0，1）、（1，0）都有可能。
而對於量子邏輯門來說，我經過U變換后的結果是 \(|a\rangle\) ，那麼 \(U^\dagger |a\rangle\) 就是變換前的輸入了。
舉例幾個常用的單量子邏輯門：
\(X=\left[ \begin{array}{}{0} &{1} \\ {1}&{0} \end{array}\right]\)，X門又稱為比特翻轉，他可以把 \(|0\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) ，把 \(|1\rangle\) 變成 \(|0\rangle\) 。
\(Y=\left[ \begin{array}{}{0} &{-i} \\ {i}&{0} \end{array}\right]\)
\(Z=\left[ \begin{array}{}{1} &{0} \\ {0}&{-1} \end{array}\right]\)，Z門又稱為相位翻轉門，可以把 \(|+\rangle\) 變成 \(|-\rangle\) ， \(-|1\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) 。
以及一個特別有用的門，Hadamard門：
\(H=\left[ \begin{array}{}{\frac{1}{\sqrt2}} &{\frac{1}{\sqrt2}} \\ {\frac{1}{\sqrt2}}&{-\frac{1}{\sqrt2}} \end{array}\right]\) ，他的作用是把 \(|1\rangle\) 變成 \(|-\rangle\) ， \(|0\rangle\) 變成 \(|+\rangle\) 。
兩量子邏輯門
對於兩量子比特來說，他們的狀態是 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) ，需要用 \(4*1\) 的向量來描述，也就是 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_{00}} \ {\alpha_{01}} \ {\alpha_{10}} \ {\alpha_{11}} \end{array} \right]$ ，對應操作兩比特的邏輯門，也就是 \(4*4\) 的矩陣了。
兩比特的量子門有各自管各自的，如圖(c)，也有一個控制另一個的，如圖(d)。
對於圖c來說， \(U=u_1\otimes u_2\) ，如果 \(u_1=\left[ \begin{array}{}{a} &{c} \\ {b}&{d} \end{array}\right],u_2=\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]\) ，那麼， \(U=\left[ \begin{array}{}{a\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} &{c\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} \\ {b\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]}&{d\left[ \begin{array}{}{e} &{g} \\ {f}&{h} \end{array}\right]} \end{array}\right]\) ，這也就是張量積的算法。
對於圖d來說，這是一個受控非門CNOT門，他的意思是，如果a是0，那麼b保持不變，如果a是1，那麼b就是變成相反的，比如 \(|0\rangle\) 變成 \(|1\rangle\) ，或者把 \(|1\rangle\) 變成 \(|0\rangle\) 。
即 \(|00\rangle to|00\rangle,|01\rangle to|01\rangle,|10\rangle to|11\rangle,|11\rangle to|10\rangle\) 。
用矩陣來描述就是 \(\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right]\) 。
至此，主要的量子邏輯門就介紹完畢，如果想要動手實踐的話，有阿里的量子計算雲平台、華為的hiQ、IMB的IBM Q
參考資料
Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 5
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